\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{enumitem}
\begin{document}

\chead{Devoir maison n°13}
\lfoot{Probabilités}

\begin{center}
\fbox{ \Large Probabilité (Niveau 2A - Objectif ECRICOME) }
\end{center}
\vspace{30pt}

\subsection*{Partie 1}

On considère un jeu de hasard dont la mise pour chaque partie est de 1 euro.
L'observation montre qu'une partie est gagn\'{e}e avec la probabilit\'{e} $%
\dfrac{1}{10}$, perdue avec la probabilit\'{e} $\dfrac{9}{10}$.\newline
Toute partie gagn\'{e}e rapporte 3 euros. Les diff\'{e}rentes parties sont
ind\'{e}pendantes. Une personne d\'{e}cide de jouer $N$ parties $(N\geq 2)$.
On note $X_N$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le nombre de
parties gagn\'{e}es et $Y_N$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant le
gain alg\'{e}brique du joueur.

\begin{enumerate}
\item Donner la loi de $X_N$ ainsi que la valeur de l'esp\'{e}rance et de la
variance de cette variable.
\item Exprimer $Y_N$ en fonction de $X_N$. En d\'{e}duire la valeur de l'esp%
\'{e}rance et de la variance de $Y_N$.
\item La personne d\'{e}cide de jouer 60 parties. On admet que l'on peut
approcher $X_{60}$ par une loi de Poisson.
\begin{enumerate}
\item Donner le param\`{e}tre de cette loi de Poisson.
\item A l'issue des 60 parties, quelle est la probabilit\'{e} que le joueur
perde moins de 50 euros (50 euros inclus)? (cette probabilit\'{e} sera imp\'{e}rativement
calcul\'{e}e en utilisant l'annexe situ\'{e}e \`{a} la fin de l'exercice)%
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Table de Poisson donne les probabilit\'{e}s cumul\'{e}es : $\displaystyle%
\sum_{i=0}^{k}e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{k}}{k!}$

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & $\lambda =3$ & $\lambda =4$ & $\lambda =5$ & $\lambda =6$ & $\lambda
=7 $ \\ \hline
$0$ & $0,0498$ & $0,0183$ & $0,0067$ & $0,0025$ & $0,0009$ \\ \hline
$1$ & $0,1991$ & $0,0916$ & $0,0404$ & $0,0174$ & $0,0073$ \\ \hline
$2$ & $0,4232$ & $0,2381$ & $0,1247$ & $0,0620$ & $0,0296$ \\ \hline
$3$ & $0,6472$ & $0,4335$ & $0,2650$ & $0,1512$ & $0,0818$ \\ \hline
$4$ & $0,8153$ & $0,6288$ & $0,4405$ & $0,2851$ & $0,1730$ \\ \hline
$5$ & $0,9161$ & $0,7851$ & $0,6160$ & $0,4457$ & $0,3007$ \\ \hline
$6$ & $0,9665$ & $0,8893$ & $0,7622$ & $0,6063$ & $0,4497$ \\ \hline
$7$ & $0,9881$ & $0,9489$ & $0,8666$ & $0,7440$ & $0,5987$ \\ \hline
$8$ & $0,9962$ & $0,9786$ & $0,9319$ & $0,8472$ & $0,7291$ \\ \hline
$9$ & $0,9989$ & $0,9919$ & $0,9682$ & $0,9161$ & $0,8305$ \\ \hline
$10$ & $0,9997$ & $0,9972$ & $0,9863$ & $0,9574$ & $0,9015$ \\ \hline
$11$ & $0,9999$ & $0,9991$ & $0,9945$ & $0,9799$ & $0,9467$ \\ \hline
$12$ & $1,0000$ & $0,9997$ & $0,9980$ & $0,9912$ & $0,9730$ \\ \hline
$13$ &  & $0,9999$ & $0,9993$ & $0,9964$ & $0,9872$ \\ \hline
$14$ &  & $1,0000$ & $0,9998$ & $0,9986$ & $0,9943$ \\ \hline
$15$ &  &  & $0,9999$ & $0,9995$ & $0,9976$ \\ \hline
$16$ &  &  & $1,0000$ & $0,9998$ & $0,9990$ \\ \hline
$17$ &  &  &  & $0,9999$ & $0,9996$ \\ \hline
$18$ &  &  &  & $1,0000$ & $0,9999$ \\ \hline
$19$ &  &  &  &  & $1,0000$ \\ \hline
$20$ &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Partie 2}


Pour ce jeu, le participant lance successivement $n$ boules au
hasard dans $N$ cases num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} $N$ avec $N\geq 2$. On
suppose que les diff\'{e}rents lancers de boules sont ind\'{e}pendants et
que la probabilit\'{e} pour qu'une boule quelconque tombe dans une case donn%
\'{e}e est $\dfrac{1}{N}$. Une case peut contenir plusieurs boules. \newline
Le gain \'{e}tant fonction du nombre de cases atteintes, on \'{e}tudie la
variable al\'{e}atoire $T_{n}$ \'{e}gale au nombre de cases non vides \`{a}
l'issue des $n$ lancers.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer en fonction de $n$ et de $N$ les valeurs prises par $%
T_{n}$.
\item Donner les lois de $T_{1}$ et $T_{2}$.
\item D\'{e}terminer, lorsque $n\geq 2$, la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}%
nements $[T_{n}=1],[T_{n}=2]$,\newline
$[T_{n}=n]$. (pour la derni\`{e}re probabilit\'{e} on distinguera deux cas $%
n>N$ et $n\leq N$).
\item A l'aide de la formule des probabilit\'{e}s totales, justifier l'\'{e}%
galit\'{e} $(I)$ suivante, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq n$, 
\begin{equation*}
(I)\qquad P([T_{n+1}=k])=\dfrac{k}{N}P([T_{N}=k])+\dfrac{N-k+1}{N}%
P([T_{n}=k-1])
\end{equation*}


\item Afin de calculer l'esp\'{e}rance $E(T_{n})$ de la variable $T_{n}$, on
consid\`{e}re la fonction polynomiale $G_{n}$ d\'{e}finie par:%
\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad G_{n}(x)=\sum \limits_{k=1}^{n}P([T_{n}=k])x^{k}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $G_{n}(1)$?

\item Exprimer $E(T_{n})$ en fonction de $G_{n}^{\prime }(1)$.

\item En utilisant la relation $(I)$, montrer que:\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R},\quad G_{n+1}(x)=\dfrac{1}{N}(x-x^{2})G_{N}^{\prime
}(x)+xG_{n}(x)
\end{equation*}



\item En d\'{e}rivant l'expression pr\'{e}c\'{e}dente, en d\'{e}duire que: 
\begin{equation*}
E(T_{n+1})=(1-\dfrac{1}{N})E(T_{n})+1
\end{equation*}

\item Prouver enfin que l'esp\'{e}rance de la variable $T_{n}$ est donn\'{e}%
e par: 
\begin{equation*}
E(T_{n})=N\left[ 1-\left( 1-\dfrac{1}{N}\right) ^{n}\right]
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}